*** Maximum d'une loi binomiale

Soit  `n`  un entier naturel non nul  et  `p\in [0;1]` .
On considère une variable aléatoire  `X`  suivant une loi binomiale de paramètres  `n`  et  `p` .
Pour tout entier naturel  `k`  compris entre  \(0\)  et  `n` , on note : `p_k=P(X=k)` .

1. Montrer que, pour tout entier naturel compris entre \(0\)  et  `n-1` , on a : `p_{k+1}/p_k=p/(1-p) \times (n-k)/(k+1)` .
2. Résoudre dans  \(\mathbb{R}\)  l'inéquation  \(\dfrac{p_{k+1}}{p_k} \geqslant 1\)  d'inconnue  \(k\) .
3. En déduire le sens de variations de la suite  `(p_k)` .
4. Pour quelle valeur de  `k`  la valeur de  `p_k`  est-elle maximale ?